19.【命题意图】本题考查面面垂直的判定、二面角余弦值的求解,体现了逻輯推理、直观想象、数学运算等核心素养(1)【证明】因为四边形ABCD是正方形所以AB⊥AD(1分)因为PA=2,AB=AD=2,PB=22,所以PA+AB2=PB2,所以AB⊥PA.(2分)又因为AD∩AP=A,且ADC平面PAD,APC平面PAD,所以AB⊥平面PAD(4分)因为ABC平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD(5分)(2)【解】由(1)知AB⊥平面PAD易知AB∥CD,所以CD⊥平面PAD因为PDC平面PAD,所以CD⊥PD因为PC=4,CD=2,所以PD=√PC-CD=√4-2=23因为PA=AD=2,所以c0s∠PAD=P4+ADPD=4+4-12=-1,所以∠PAD=120°(6分)如图,以A为坐标原点,直线AB为x轴,直线AD为y轴,过点A与平面ABCD垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,-1,3),C(2,2,0),D(0,2,0)因为E为PD的中点,所以E0,1,3),22所以AB=(2,0,0),AF=(0,-1,3),AC=(2,2,0)(8分)设平面PAB的法向量为n=(x1,y1,x1),n·AF=0,-y1+3x1=0.令x1=1,得x1=0,y1=√3设平面EAC的法向量为m=(x2,y2,,分)所以n=(0,3,1)ACx2+2y2=0,即AE=0,1y2+xz2=0.令z2=1,得x2=3,y2=-3所以m=(3,-3,1)(10分)所以 cos d.⊥n·m0×3+3×(-3)+1×11√0+(3)2+12×(3)2+(-3)2+12所以平面PAB与平面EAC所成锐二面角的余弦值为(12分)防法总结证明面面垂直时,一般利用面面垂直的判定定理,需要在一平面内找到一条直线垂直于另一个平面.求二面角有两种方法:(1)根据定义作出二面角的平面角,证明并计算,这种方法要求较高.(2)利用空间向量求解,找出图中两两垂直的三条直线,建立空间直角坐标系。设n1,n2分别是平面a,B的法向量,二面角a-l-B的大小为0,则I cos(n,, n,I== I cos el,用这种方In,IIn,法求解时要注意判断所求二面角是锐角还是钝角

14.2:1【命题意图】本題考查佘弦定理、三角形的面积公式,体现了直观想象、敫学运算、逻辑推理等核心素养【解析】设圆锥的底面半径为R,母线长为l,底面圆的圆心为O,过顶点的截面与底面圆的交线为AB,截面三角形的顶角为B.由题意得l=、6,Sg=R2=4m,所以R=2.因为轴截面是腰长为6,底边长为2R的等腰三角形,所以其顶角的余弦值为6+6-16=-1<0,故轴截面三角形的顶角为钝角.过顶点的截面三角形的面积可表示为S=Pin,当=可时S最大,此时AB|=√6+6=23.连接OA,OB,则在△OAB中,c∠AOBO42+0B2-AB24+4-1212OA·OB2×2×22又0<∠AOB

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