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【答案】27【解析】如图①，过C,B作AD的垂线，垂足分别为E,F,【菜答【范馆①故BF⊥EF,EC⊥EF,所以B京.FE=0,F它.EC=0,以AD为棱折叠后，则有BC=B京+F它+EC,故BC2=(BF+FE+EC)*=BF:+FE*+EC:+2 BF.EC+2 BF.FE+2 FE EC=BF+FE+EC+2BF·EC.如图②，因为以AD为棱折成大小为60°的二面角CAD-B,所以B下与EC的夹角为120°，令∠BAD=a,则∠CAE=90°-a,在Rt△ABF中，BF=AB·sina=6sina,AF=ABcos a=6cosa,在Rt△ACE中，EC=AC·sin(90°-a)=8cosa,AE=AC·cos(90°-a)=8sina,故FE=AE-AF=8sina-6cosa,所以BC=(6sina)2+(8sina-6 casa)+(8cosa)P+2X6sina×8 cos ax(-2）=36(sin2a+cos2a)+64(sin2a+cos2a)-144 sin acos a=100-72sin2a,故当a=45°时，|BC12有最小值28，故线段BC的最小值为2√7.CDFAB②

解：(1)设AC∩BD=O,则O为AC,BD的中点，连接PO,OE,因为PB∥平面AEC,PBC平面PBD,平面PBD∩平面AEC=OE,所以OE∥PB.因为O为BD的中点，所以E为PD的中点，因为PA=PC,O为AC的中点，所以PO⊥AC,同理可证PO⊥BD,因为AC∩BD=O,所以PO⊥平面ABCD.因为AB=√2a,BC=a,所以A0-号AC=2AB+BC-停.所以P0=√PA-AO=2以O为坐标原点，DA,AB,OP的方向分别为x,y,之轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(台-号o叫层号0)c(-号号0)(-号-号oPoo引E(--9》设辛面ABC的-个*向量为m=(y).a心=(-ana,0,正-(，号，)》m·AC=-ax+2ay=0,m·A-+。+ay+号=0，4取x=√2，可得m=(2,1,2√2)，易知平面ACD的-个法向量为n=(0,0,1),c0sm,n)=m7=厅X1=11,m。n2W22√22由图可知，二面角EACD的平面角为锐角，因此，二面角EACD的余孩值为，2√222正-（安号）C=(-号号》os正元=AE.PC23AE1IP元V332aXa因此，AE与PC所成角的余弦值为3(3)BD=(-a,-√2a,0),cos(BD,m〉=Bd·m-22a2√66|BD1lm|√3aX√I3312√66因此，BD与平面EAC所成角的正弦值为33