2.(1)由P=2sine,得=2pmO,…x= pcos,y=psin,代入得:x2+y2=2y曲线C的普通方程为x+y=2,即:x2+(y-1)2=1√2√2t+m由的参数方程2(为参数),消去参数t得:x-y+m=0.=0(2)当=0时,得m. p(o, m)在直线上,√2(2√2t+m-2-t+m=022将l参数方程代入曲线C的普通方程得化简得:+√2(m-1)+m2-2m=0设以上方两根为,,由△m+1)-4(m2-2m)y°解海,1-√5

21.证明:g(x)=f(x,则f(x)=g(x)=+sinx+ xcosx,g(x)=-+2cosx- rsin x……2xe, r).--3<0, 2 cosx <0, sinx>0,g()=1+2c0sx- sinx<0…3故g()在区间(,x)上单调递遘减.4又∵az、2=-+1>0,g(x)=--丌<0……5所以g(x)在区间(,m)上存在唯一零点…6(2)要证f(x)<2xlnx+x(l+sinx),即证(2x-1)lnx+x>0,令h(x)=(2x-1)lnx+x,则h(x)=2lnx--+3……,7令m(x)=h(x),所以m(x)在(0,+∞)单调递增.…8∵m(1)=2>0,m()=1-2ln2<0,所以存在唯的x∈(,1),使得m(x0)=2lnx--+3=0……9当0 x时h(x)>0,h(x)在(xn,+∞)上单调递增……10°故h(x)m=h(x)=(2x0-1)In xo t xo=-(2x0+~)……112因为x∈(1所以2x+1∈(2,,所以h(n)>0即2x-)mx+x>0恒成立,综上所述对任意x∈(0,+∞),都有f(x)<2xlnx+x(l+sinx)…12

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