21.【解析】证明:(1)∫(x)=sinx+ rcos r由题∫(=-1,所以a=丌2分2故∫(x)= sinx-rlnx,f(x)=sinx+ l cosxf'(x)=sinx+xcosxr- f(=)=22-h,=(l-ln)>0所以,在x∈(0,3),f(x)>0得证6分方法二:f(x)=sinx+ .cosx- h(=)=-1>0,知加(x)在x∈(O,=)单调递增所以A(x) f()丌ln===(l-ln-)>0所以,在x∈(0,),f(x)>0得证6分方法三:f(x)=sinx+ r cos x-z=√h+x2sin(x+9)-z因为sn(x+9)≤1,∫(x)≤√+x2-x,设g(x)=√1+x2-x,显然g(x)在x∈(0,)单调递增,g(x)=√+x2-x f(兀_7’因为hx所以∫(x)>f(0)=-ln>0分丌1(Ⅱl)当n∈N,n≥2时(0,因为+1>1+1,所以si(x+)>sn(+-),8分n+1则sin(+-)>sin(1+-),由(1)知:x∈(0,)时, sinr>rlnxn+1令xn+1sin(,+-)>sin(1+-)>ln(n+-)10分4n+1所以〓sin(+二)>rhnn+23sin(+二)>rln33sin(+-)>In相加得=sinin(+)n+Isin(-+-)>TIn12分

16.2

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