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15.2

219.(1)证明：因为BD=3V3,DN=2NB,故DN=,BD=23.在△AND中，AD=3,∠ADN=30°，DN=2V3,根据余弦定理可得AN2=AD2+ND2-2AD-ND-cos ADN=32+(23)2-2X3X23x3,2故AN=V3,所以NA2+AD2=ND2,∠NAD=90°，所以AC⊥AD.B又PA⊥平面ABCD,AC平面ABCD,所以AC⊥PA.因为PA∩AD=A,PA,AD平面PAD,所以AC⊥平面PAD.(6分)(2)解：以A为坐标原点，以AC,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.在△BAD中，AD=3,BD=3V3,∠ADB=30°，根据余弦定理可得AB2-AD:+BD2-2AD-BD-cos/ADB=3+(3/3)-2X3X3V3x9,故AB=3,所以∠ABD=30°，∠BAD=120°.33所以A0,0,0),B220),C(3,0,0),D(0,3,0),P(0,0,3).33因为点M是PD的中点，故M0,22n1⊥A,n1·AB=0,设n1=(X,y,z)是平面PAB的法向量，则l1成同21市=0.即33所以2X2y=0,取x=1,得1=(1，V5,0),3z=0,所以平面PAB的一个法向量为m1=(1,3,0).同理，平面MAC的一个法向量为n2=(0,1,一I).n1·n235所以cos(n,n2〉=1n1·1n22×222B与平面MAC所成的二面角为日，故cos9|=cosa.22所以平面PAB与平面MAC所成=面角的正弦值为4(12分)