12.c【命题意图】本题考查四面体的表面积、四面体的外接球、基本不等式,体现了直观想象、逻輯推理、数学运算等核心素养【解析】在四面体ABCD中,设AB=CD=x,AC=BD=AD=BC=y,则该四面体的每个面都是腰长为y,底边长为x的等腰三角形.把该四面体放入长方体中,使每条棱为长方体的面对角线,则该长方体的体对角线就是四面体外接球的直径由四面体外接球的表面积为16m,得四面体外接球的半径R=、=2设该长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则a2+b2+c2=(2R)2=16.又a2+b2=x2,b2+c2=y2,c2+a2=y2,三式相加,得x2+2y2=2(a2+b2+c2)=32,则x2+y2=16,即该四面体一个面的面积S⊥+483当23且仅当4x=-4x,且,x2+y2=16,即x=y=4√时,等号成立,所以该四面体表面积的最大83值为4323.故选C33

16.-23【命题意图】本题考查平面向量的模及数量积、平面向量的投影,体现了数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养【解析】将|a-3b1=13a-b|两边平方,得a26a·b+9b=9a2-6a·b+b2,即8b2=8a2,所以b|=lal.由a+b+yc=0,得a+b7两边平方,得2a2+2a·b=c2.又因为lcl=21a,所以c2=4a2,所以2a2+2a.b=3c2=3a2,所以a·b=a2,所以a在b方向上的投影为a0=由a+b+c=0,得a+c=-b,两边平方,得4a2+3a·c=b2=a2,所以a·c=-3所以c在a方向上的投影为=-3a,所以c在a方向上的投影与a在b方向上的投影的比值为3|a23

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