21.【命题意图】本题考查椭圆的标准方程及其简单几何性质、直线与椭圆的位置关系、等差中项的概念,考查数形结合思想、转化与化归思想、方程思想,体现了逻辑推理、数学运算等核心素养【解】(1)由已知条件,得2ab=43.(1分)又F(1,0),a2=b2+c2,所以后=b2+1,(2分)解得b2=3.所以a2=4(3分)所以椭圆C的标准方程为,+=1.(4分)(2)假设存在满足条件的直线L设点P(m,n),则kp=当直线AB与x轴重合时,不妨设A(-2,0),B(2,0),则kpm+2m-2n 2由k+km=2kp,得,+(6分)m+2m-2m-1由n的任意性,解得m=4(7分)下面验证m=4的一般性当直线AB不与x轴重合时,设直线AB的方程为x=1y+1(8分)x=y+1,联立得方程组+÷=143消去x并整理,得(32+4)y2+6y-9=0,则△=(61)2+36(32+4)=144(12+1)>0.(9分)设A(By1+1,y1),B(y2+1,y2),431=3则y+y2-32+4(10分)y1-ny2-7所以k+O1-3m-32yy2-(3+n)(y1+y2)+6nty1y2-3t(y1+y2)+918t+6t(3+nt)+6n(3t2+4)24n(t2+1)-92+18t2+9(32+4)2n=2k3故存在定直线l:x=4满足条件(12分)法总结(1)研究直线与圆锥曲线的位置关系时,一般先联立方程,再利用根与系数的关系进行求解.涉及弦长、中点、距离等问题时,要注意设而不求、整体代入、点差法以及定义的灵活运用.(2)在设直线方程时,常有两种设法,一是设直线方程为y=kx+m,这种设法要注意考虑直线斜率不存在的情况,二是设直线方程为x=1y+n,这种设法不包含直线与x轴平行的情况

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