19.【命题意图】本题考查面面垂直的性质、线面垂直的判定与性质、二面角余弦值的求解,体现了直观想象、逻輯推理、数学运算等核心素养【解】(1)∵PC⊥平面ABC,DEC平面ABC,DE⊥PC.(1分)如图,过点C作CM⊥PD于点M平面PCD⊥平面PDE,平面PCD∩平面PDE=PD,CMc平面PCDCM⊥平面PDE,CM⊥DECM∩PC=C,CM,PCC平面PCD,DE⊥平面PCD(3分)CDC平面PCD,∴DE⊥CDD,E分别为线段AB,BC的中点,DE∥AC,DE=AC,,CD⊥AC∠ACB=3…∠DCE=2(5分).BC=4, CE=2, DE=CEsin =1AC=2(6分)(2)由(1)知,CA,CD,CP两两垂直,CD=CE·cos#=/3以C为坐标原点,分别以C,CD,C的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图的空间直角坐标系C-x)z,(7分)则C(0,0,0),A(2,0,0),D(0,3,0),E(-1,3,0),P(0,0,3)F为AD的中点,F{1,∴E=(1,-√3,3),ED=(1,0,0),EF=设平面PDE的法向量为m=(x1,y1,z1),m·EP=0则即=3y+3ELI令y1=1,则x1=0,x1=1,∴m=(0,1,1)(9分)设平面PEF的法向量为n=(x2,y2,z2),-3y2+32=0则即EF=0,2=0令x2=3,则y2=4,2=3,∴n=(√3,4,3).(11分)∴cos〈m,n)=m·n0×3+1×4+1×32×3+16+9∴二面角D-PE-F的余弦值为144(12分)

21.【命题意图】本題考查拋物线的标准方程、直线与拋物线的位置关系、直线过定点问题,考查数形结合思想、转化与化归思想,体现了逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养(1)【解]:抛物线C:y2=2mx(p>0)上一点(x02)到焦点的距离为2,xn+2=2解得p=2(3分2px=4,抛物线C的标准方程为y2=4x,(4分(2)【证明】设直线AB的方程为x=y+m,A(x1y1),B(x2,y2)由y=4x,消去x并整理,得y2-4y-4m=0x=ty+n=16r+16m>0,y1+y2=41,y1y2=-4m(6分)∵y2=4x,…当y>0时,y=2x,此时y==2;当y<0时,y=-2,此时y=-1=2过抛物线上一点(x0,%0)(x0≠0)的切线方程可表示为y-y0=-(x-x),即ya=2(x+x0)(当切线过原点时也符合),切线PA的方程为y1=2(x+x1),切线PB的方程为y2=2(x+x2)(9分)联立得方程组y2=2(x+x2).②①.得二x+3,即x(y1-y2)=xy-2y1=24(y1-y2),①-②,得y(y1-y2)=2(x1-x2)=2(y1+y2)(y1-y2)2y1+y22=2t,P(-m,2)(10分)∵点P在直线l:y=x+2上,∴m=2-2(满足A=16t2+16m>0),∴直线AB的方程为x=y+2-2t,即(x-2)-t(y-2)=0,∴直线AB过定点(2,2)(12分)

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