设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),n·PD=0,则n·PC=0,令z=2.则x=1,y=-2所以n=(1,-2,2)又PB=(1,1,-1),PBB所以cos(n,PBPB3所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为(3)设M是棱PA上一点,则存在λ∈[0,1使得AM=AAP因此点M(0,1-入,A),BM=(—1,一入,λ).因为BM￠平面PCD,所以BM∥平面PCD当且仅当BM·n=0,即(-1,A,A)·(1,-2,2)=0解得入=-AM所以在棱PA上存在点M使得BM∥平面PCD,此时A DAM所以在校PA上存在点M使得BM∥平面PCD,此时AP=4

(1)由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥GG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE又因为ABC平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE(2)作EH⊥BC,垂足为H.因为EHC平面BCGE,平面BCGE⊥平面ABC,所以EH⊥平E(F)面AB由已知,菱形BCGE的边长为2,∠EBC=60°,可求得BH=1,EH=√3以H为坐标原点,HC的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz,则A(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,√3),CG=(1,0,√3),AC=(2,-1,0)设平面ACGD的法向量为n=(x,y,gz),则即AC·n=02x-y=0所以可取n=(3,6,-3)又平面BCGE的法向量可取为m=(0,1,0),√3所以cos(n,m因此二面角B—CG-A的大小为30

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