10.(1)由题意得,c=√6,e=。,解得a=2√3,椭圆C的方程为(2)由已知,直线OP:y=k1x,OQ:y=k2x,且与圆R相切2,化简得(x2-4)k1-2x0y0k1+y2-4=0,同理,可得(x3-4)k2-2xoyk2+y3-4=01,k2是方程(x3-4)k2-2x0yk+y2-4=0的两个不相等的实数根,∴x3-4≠0,△>0,k1k24-4x∵点R(x,y)在椭圆C上,∴126k,k(3)OP|2+OQ2是定值18kI设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立得{x2y2126解得12k1+2k2(1+k)2(1+k2)同理,可得x2+y1+2k2,得OPOQ|2=x2+y2+x2+12(1+k),12(1+k2)12(1+k)1211+2k+2k21+2k2+8+36k1+2k综上:OP|2+|OQ18

2.(1)由题意可知直线AM的方程为y-3=2(x-2),当y=0时,解得x所以a=4,由椭圆C:2+,2=1(a>b>0)过点M(2,3)b4可得a9b解得b2=12161,=1所以C的方程为;(2)设与直线AM平行的直线方程为x-2y=m,当直线与椭圆相切时,与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N,此时△AMN的面积取得最大值=2y=m,联立{x2,y2,消去x得16y2+12my+3m2-48=0,所以△=144m2-4×16(3m2-48)=0即m2=64,解得m=±8,与AM距离比较远的直线方程为x-2y=8两平行线(直线AM与直线x-2y=8)之间的距离为2√5AM|=√(2+4)2+32=35所以△AMN的面积的最大值为×3√5

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