19.以{AB,AD,AP}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系xyz,则各点的坐标为B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2(1)因为AD⊥平面PAB,所以AD是平面PAB的一个法向量,AD=(0,2,0)因为PC=(1,1,-2),PD=(0,2,-2),设平面PCD的法向量为m=(x,y,z),x+y-2z=0m·PC=0,m·PD=0,即令y=1,解得z=1,x=1所以m=(1,1,1)是平面PCD的一个法向量从而 COSAD,m)=4D·m√3ADm所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为3(2)因为BP=(-1,0,2),设BQ=ABP=(-入,0,2A)(0≤≤1),又CB则CQ=CB+BQ=(-A又DP=(0,-2,2)CQ·DP从而cos(CQ,DPCQ DP设1+2A=t,t∈[1,3],2t则cos2CQ,DP)5t2-10t+952010/1n当且仅当t即入=一时,cos(CQ,DP)的最大值为10因为y=cosx在(0,。)上是减函数,此时直线CQ与DP所成角取得最小值.又因为BP=√12+22=√5,所以BQ=-BP

30.答案,19解析:以A为坐标原点,AC所在直线为x轴,以过点A且与AC垂直的直线为y轴,建立如图平面直角坐标系.由已知得A(0,0),B(1,3),C(3,0),N(2,0),M(2,),∠MPN即为向量AM,BN的夹角因为AM=(2,。),BN=(1所以cos∠MPN=cos(AM,BN〉

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