19【解析】(1)因为BC∥平面a,BCC平面PBC,平面a∩平面PBC=EF,所以BC∥EF,……………………(1分)且F为棱PB的中点因为BC⊥AB,所以EF⊥AB…(2分)同理,因为PA∥平面a,PAC平面PAC,平面a∩平面PAC=DE,所以PA∥DE(3分)因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,……………………………………(4分)所以DE⊥AB,又DE∩EF=E,所以AB⊥平面DEF,即AB⊥平面a(5分(2)如图所示,以点B为坐标原点,分别以BA,BC所在直线为x,y轴,过点B且与AP平行的直线为z轴建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),P(2,0,2),E(1,1,1),F(1,0,1),AC=(-2,2,0),BC=(0,2,0),B=(2,0,2),设M(1,1),…(6分)则AM=(-1,t,1),设平面MAC的一个法向量为m=(x,y,z),m·AC=-2n+2y=0,令x=1,则y=1,21=1-tm·AM=-n1+ty+x1=0,所以m=(1,1,1-1)为平面MAC的一个法向量……(7分设平面PBC的一个法向量为n=(m,y2,z2),n2y=0则n·BP=2x2+2z2=0则y2=0,令x=1,则z2=-1所以n=(1,0,-1)为平面PBC的一个法向量.……………………………………………(8分)设平面MAC与平面PBC所成的锐二面角为0,则∞os=lcos(m,n)|=4(2元2r+3×2(9分mn当r=0时,cos=0;当t≠0时,cos伊………(10分+1X2√3(}-3)+备×2当且仅当=言,即(=3时:3(1-3)+景取得最小值当且仅当3,=3时3(1-)+景取得最小值cos取得最大值,最大值为2(11分2所以平面MAC与平面PBC所成锐二面角的余弦值的最大值为(12分

18.【解析】(1)a1=2,4Sn=an·an+1,n∈N,①∴4a1=a1·a2,又∵a1=2,∴a2=4,……………(1分)当n≥2时,4S-1=am-1·an,②①一②得:4an=an·an+1-am-1:an,………(2分)由题意知:an≠0,∴an+1-a-1=4,……………………………………………………………(3分)当n=2k+1,k∈N”时,a+2-ax=4,即a2,a4,a6,…,aa是首项为4,公差为4的等差数列,∴aa=4+(k-1)×4=4k=2×2k,………(4分)当n=2k,k∈N时,aa+1-aa-1=4即a1,a3,as,…,aa-1是首项为2,公差为4的等差数列,∴ax-1=2+(k-1)×4=4k-2=2×(2k-1),(5分)综上所述:an=2n,n∈N.………………(6分))证明:∵a24n24n(n+1nn+1/…(7分)7=+++2>(-+1-号+++)=+(-h)=m,…0分又∵正=矿<4-172n+1(2m=D-2(51_1n-12n+1………………………(10分)T=+是+…+2<(-3+3-吉+…+21-an+1)=(1-an+1)<(11分)即得:1n+4

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