15.(10分)如图所示，某航天器围绕一颗行星做匀速圆周运动，航天器的轨道半径为R,环绕行星运动的周期为T,经过轨道上A点时发出了一束激光，与行星表面相切于B点。若测得激光束AB与轨道半径AO的夹角为0，引力常量为G,不考虑行星的自转，求：(1)行星的质量和平均密度。(2)行星的第一宇宙速度的大小。B0R4π2R33π【答案】(1GT2GT2sin302πR(2T√Jsin0【解析】设行星质量为m1,航天器质量为m2。(1)航天器做匀速圆周运动的周期为T,根据万有引力提供向心力得G1m1n2R2R(2分)4π2R3解得m1=GT2(2分)行星的体积为V=4πr34πR3sin3033行星的平均密度为mI3πP-V(2分)GT2sin0(2)根据万有引力提供向心力得mimv2G(Rsin 0)-mjRsin 0(2分)2πR解得v=(2分)T√sind

解：(1)由对数的性质，得1一c0s2x>0,所以cos2x≠1，即x≠kπ(k∈Z),故f(x)的定义域关于原点对称.(1分)①若f(x)是偶函数，则有f(-x)=f(x),即lg[1-cos2(-x)]+cos(-x十0)=lg(1-cos2x)十cos(x十0)，可得cos(-x十0)=cos(x十0)，(2分)即2 sinsin0=0,要使2 sin sin0=0对-切x≠kr(k∈2)恒成立，在0∈[0,2）中有9=0，(3分)@若f)是奇画数，则在定义城内，任意有f)+f(一x)=0,取x=,则f()+f(-)=0,又f(-4)=lg[1-co(-)]+cos(-+9）=co(-+）f()=1g(1-cos)+cos(+0）=cos(+0),(4分)所以2cos0=0,显然在0∈[0，)上不成立.(5分)综上，当0=0时，f(x)为偶函数；当0(0，)时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(6分)(2)由(+x-f(-x<0,得1g[1-os2(+x月+cos(+x+9)-le1-cos2(餐-x月-cos(-x+）<0,即1g1+sin2x)+co(+x+0）-lg1+sin2x)-cos(经-x+0）<0,化简为cos(至+z-0）十co(至x+0）<0,整理得2cos(r+)os0<0,(8分)》因为0∈(0，），所以c0s>0,即1g1+sim2x)+cos(骨+z+0）-1g1+sin2z)-cos(-x+0）<0,化简为cos(+x-0）十cos(答+x+0)<0,整理得2cos(x+4)os0<0.(8分)国为9∈(0,2），所以cos0>0,cos+)<0,所以行+x≠1不，k1∈Z,k2∈Z,3T一x≠k2R,所以不等式的解集为(2x+子，2kx+）U(2x+经，2x+）∈Z(12分)

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