15.2√2【思路导引】以OF为直径的圆的方程1联立设y4>0双曲线C的渐近线方程一%A".C△AOB一→xc2=8a2→2=8双曲线C的离心率【解析】本题考查双曲线的几何性质以及直线与圆的位置关系因为F(c,0),所以以OF为直径的圆的方程为(x-5)+y2b又双曲线C的渐近线方程为y=±x,两方程联立得(1+即x2-cx=0,解得x=0或x=,所以x1由双曲线的对称性不妨设y4>0,将xA=代入y,=9,所以S△m=1…x,·2y==mb,整理得2=8n即e2=8.因为e>0,所以e=22【一题多解】如图,设AB交x轴于点D,连接AF,因为OF为圆的直径,则OA⊥AF,则AF|=b,又OF|=c,所以|OA|=a.因为Rt△AOD∽~R△FOA,所以ODI IADI IOAI n lODI IADII OAI IAFI IOFI,所以10)1,A01=因为5w=2·ODt:2ADl=整理得e2=8a2,即e2=8.因为e>0,所以e=22yF

12.ACD【解析】本题考查导函数的应用、函数的零点以及数形结合、构造法的应用.∵f(x)=2m(x+1)1,g(x)=(m+2)(x2+1)2,9(x)=e,f(x)-8只有一个零点,方程2m(x2+1)-e-m+21(x+1)=0只有一个实数根,即方程(m+2)2m,x2小1=0只有一个实数根+1,则t(x-1)2e≤0且等号不恒成立,函数t=,在R上单调递减,且当x→-x时,→+∞,当x→+x时,40,作出函数t=土1的大致图像如图所只需关于t的方程(m+2)t2-2mt+1=0(*)有且只有一个正实根①当m=2时,方程(*)化为4r2-4+1=0,解得t=,符合题意;②当m=3时,方程(*)化为5r2-6t+1=0,解得t或t=1,不符合题意③当m=-3时,方程(*)化为t2-6t-1=0,解得t=3+√10(负值舍去),符合题意;④当m=-4时,方程(*)化为2-8-1=0,解得/=4+32(负值舍去),符合题意故选ACD

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