19.(12分)解:(1)由空间几何关系可知,三棱柱BC·ABC的外接球也就是三棱柱BC·4BC1外接圆柱的外接球,取AC的中点H,因为.BB=BC,所以BH⊥AC延长BH到D,使得BC⊥DC,所以BD为圆柱底面圆的直径因为AB=BC=4,∠BC=120,所以BD=8,又DD=BB=4所以2r=B1=√BD2+DD2=45,3分所以外接球的表积S=42=x(2r)=80(2)据(1)可知,以C所在的直线为r轴,以BH所在的直线为v轴,以过点H且和44平行的直线为:轴,建立空间直角坐标系如图所示所以4(25.00),B(0.-2.0),c(-250),4(25.04),C:(25.04)B1(0-24),所以BC-(2520)C=(004),℃·所以BM=BC+CMB+BN=B+-(514)设平面BMN的法向量m=(xy2),n·BM=07分m·BN=03x+y+z=0取x则z=-2x+y+4z=0F以m=(39分由(1)可知,截面圆的圆心O在BH的延长线上,且HO=2,DB1=(0.-44)设直线OB1与平面BMN所成的角大小为620+87所以sinO=阿圆√32√g28所以直线OB与平面BN所成角的正弦值为7…12分解法2:(1)据已知条件,取AC的中点H,以C所在的直线为其轴,以BH所在的直线为y轴,以过点且和.4甲行的直线为:轴,建立空间直角坐标系如图所示Bk:由已知可得:1(3.0),B(0.-2.0),C(-2√.00),4(2.0.4c:(-2304),B(0-24)设球心G的坐标为(b,c),则G=GC=GB,且c(-25)+b2+4=(a+2)+b2+4所以a2+(b+2)+4解得:a=0,b=2,所以G(0.2),所以厂=Vt2+(2+2)+(2-4)=2所以外接球的表直积S=472=x(2)=8π………4分(2)由(1)可知:所以BC=(-2.2.0)C=1(004),因为C=1C,所以B=B+C+=B+C=(252)4理=B+N=B+=(54)设平面BMN的法向量m=(x.y.z)m·BN=0-V3x+y+2=0取x则z=-253x+y+4z=0所以m-(√359分由(1)可知,截面圆的圆心O在B的延长线上,且/O=2,所以OB=(0.-44)设直线OB1与平面BMN所成的角大小为620+87所以sin6√32√2所以直线OB1与平面BN所成角的正弦值为12分8

22.(12分)解:(1)要证(1+-)” 0,函数g(x)单调递增由于g(x)>g(O)=0·不等式不成立………9分当√时,x2∈(O在区间(0,x2)上g(x)<0,在区间(x2,1)上g(x)>0函数g(x)在区间(0.x2)上单谲递减,在区间(x2,1)上单调递增且g(O)=0,只需g(1)=ln2O即√1 0)成立,实数的最大值为-1

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