10.(1)证明:因为an+an+2=A+2an+1,a1=a2=1,所以a3=2a2-a1+A=A+1,a4=2a3-a2+A=3+1,a5=2a1-a3+A=6A+1,又因为a4-a1=3A,a5-a4=3入,所以a4-a1=a5-a4,故a1,a4,a5成等差数列(2)H antang=n+2a11,a+2-antI=anti-anth令b,=an+1-an,则bn+1-b=A,又b1=a2-a1=0,所以{bn}是以0为首项,A为公差的等差数列,故bn=b1+(n-1)A=(n-1)A,即an+1-an=(n-1)入,所以an+2-an=2(an+1-an)+入=(2n-1),所以所以Sn当A=0时,Sn=n,当λ≠0时,Sn=2+2+224(1-22)所以数列(cn}的前n项和为S,=2(1-22)(3)不存在理由如下:由(2)知an+1-an=(n-1)λ,用累加法可求得an=1+(n-1)(n-2)入(n≥2),当n=1时,也适合上式,所以假设存在三项a,+1-1,a1+1-1,ap+1-1成等比数列,且s,t,p也成等比数列,则(a1+1-1)2=(a,+1-1)(a+1-1)t2(t-1)2s(s-1)p(p-1)4因为s,t,p成等比数列,所以t2=s,所以(t-1)2=(s-1)(p-1),化简得s+p=2t,联立t2=sp,得s=t=p这与题设矛盾故不存在三项a1-1-1,a1+1-1,ap+1-1成等比数列,且s,t,p也成等比数列

)由题设得+121=2所以数列{}是首项为2,公比为。的等比数列所以一=24(2)证明:由(1)知b4n2"-1因为对任意n∈N,2”-1≥2恒成立,所以bn所以Tn≤1+

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