15.200σ【解析】題考查四棱锥外接球的表面积.设四棱锥P-ABCD外接球的半径为R,底直ABCD为矩形,矩形ABCD激的外接圆圆心为矩形ABCD的中心,记夕接圆圆心为O,半径为则AB+BC=5.:PA⊥平面ABCD,∴(P4)+翻2r)2=(2R)2,R2=530,该四棱锥外接球的表面积S=4mR2=20【快解】∵底面ABCD为矩形;PA⊥平面ABCD,可将四棱锥P-ABCD放入一个长、宽、高分别为8,6,10的长方体中,则四棱锥P-ABCD的外接球即为长方体的外接球易知长方体的外接球半径R=1√AB2+BC+P=52,该四棱锥外接球的表面积S=4mR2=200T

22.【解】本题考查抛物线的方程及几何性质、圆的性质、直线与抛物线的位置关系(1)设直线AB的方程为x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2)联立Jy2=2,消去x得y2-2pny-4=0,△>0,所以y1y2=-4p,x1x2因为以AB为直径的圆过坐标原点,所以O·D=0,即x1x2+yy2=4-4p=0,解得p=1,则抛物线C的方程为y2=2x(2)由(1)知焦点F(1设直线BS的方程为x=my+2,R(x,y),S(x,,),由直线RS的倾斜角]得-[小则me(联立直线与抛物线的方程,根据弦长公式分别求出|RS|和PQ1,即可表示出四边形RPSQ的面积联立消去x得y2-2my-1=0,△>0,则y3+y4=2m,y3y4=-1,所以IRS|=√m2+1·√(2m)2-4×(-1)=2(m2+1)因为直线RS和直线7Q相互垂直,所以直线7Q的方程为x=令2,得y=m联立11消去x得y2+2y-1=0.由点F在P,Q两点之间,得y0=所以PQ则四边形RPSQ的面积Sa8w=RS|·|PQ|=(m2+1)n'y/m2+1)=mn2+(m2+1)2(当表达式含参且不容易求解时,可利用换元法进行求解,注意参数的范围)令√m2+1=t,则由m∈[1,3],可知te[2,2],边形RP记f(t)=;,则f'(t)=(t-1)2当t∈[2,2]时,f'(t)>0恒成立,所以f(t)在[2,2]上单调递增所以当t=2,即m=1时,S边的最小值为42+4当t=2,即m=3时,S边形的最大值为16故四边形RPSQ面积的取值范围为[42+4,16]

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