19.解:(1)3f(x)-f(2-x)=4x,①用2-x代替上式中的x,得3f(2-x)-f(x)=8-4x,②联立①②,可得∫(x)=x+1.(4分)设g(x)=ax2+bx+c,所以g(x+2)-g(x)=a(x+2)2+b(x+2)+c-a.即4ax+4a+2b=4x4a=4,所以解得a=1,b=-24a+2b=0,又g(1)=-4,得c=-3,所以g(x)=x2-2x-3(7分)(2)令f(x)≥g(x),即x+1≥x2-2x-3,x2-3x-4≤0,解得-1≤x≤4所以当x∈[-1,4]时,f(x)≥g(x)(9分)若要求x∈[m,n]时,恒有f(x)≥g(x)成立,可得n-m≤4-(-1)=5,即n-m的最大值是5(12分)
9.解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|+2|x-1|,<-1故∫(x)>4等价于3x+1>41≤x≤1,(x>1,x+3>4(3x-1>4,解得x<-1或x>故不等式f(x)>4的解集为{x1x<-1或x>3(5分)(2)当x∈[-3,-1]时,由f(x)>4-2x,得|x+a+2-2x+2x-4>0,即|x+a|>2,即a>2-x或a<-2-x对任意的x∈[-3,-1]恒成立(7分)又(2-x)n=5,(-2-x)m=-1,故a>5或a<-1.又a>0,所以a>5,即实数a的取值范围为(5,+∞)(10分)
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