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证明:如图2,过点 P作 PC⊥OB于点C.OF_ON3x_3PFPG3x+2x5′OP_8MOF3②如图4,当点M在AO的延长线上时，过点P作0NBCPC⊥OB于点C,并延长交MN于点G.·图2AP由(1)知,四边形 OAPC是正方形,:. OA=AP=PC=0C, LAPC=90°. PN⊥ PM,NB:. LAPM= LCPN=90°-LMPC.C又LA= LPCN=90°,AP=CP,. △APM≤△CPN( ASA),(5分):. AM = CN,图4:. OM+ ON = OM+ CN+OC = OM+AM+ OA = OA+ LAPC= LMPN=90°,OA =20A.:. LAPM= LCPN=90°-LMPC.在Rt△AOP中,由勾股定理,得OP=√OA²+AP²=又LA= LPCN=90°,AP=CP,:. △APM≤△CPN( ASA),√20A,.. AM=CN,(8分):. OM+ON=√20P.:. ON-OM = OC+CN-OM = OA+AM-OM= OA+(10分)OA=20A.33设 OM=y,则 ON=30M=3y,【提示】①如图 3,当点M 在线段AO 上时,延长 NM,.. OA=CP=y,PA 相交于点 G.:. CN=AM=OA+OM=2y. PC // AO,:. △CGN△OMN,CG_2yCG _CN ,NBOM=ON,"y3y图32由(2)知 0M+ON=20A,. CG=3K设OM=x,则 ON=30M=3x,: PC // AO,.. OA=AP=2x,:. △OMF△PGF,:. AM=OA-OM=x=0M.OF_OM3yPFPG'9W47 =NWO7'.06=9WW7 =NOW7 :2y+y:. △OMN≤△AMG( ASA),OP_2. AG=ON=3x.OF-3·.: AP// OB,OP综上的值为OF:. △ONF△PGF,